사고력수학-모든 분수는 왜 유한소수 또는 무한 소수가 될까?

길동이가 길순이에게 물었습니다.

"길순아 어떤 경우가 유한소수가 되는지 알고 있어?"

"그야 분모가 2와 5로만 소인수 분해 되는 분수가 유한소수지. 가령 10과 같은 경우 소인수 분해 하면 2와 5의 조합으로 구성되잖아"

 

여기서 잠깐 살펴 볼께요.

3/10 = 0.3, 7/20 = 0.35 (여기서 20은 2 x 2 x 5) ...

 

"그래 맞아 그런데 분모가 7이거나 12 같은 경우는 소인수 분해 된 수에 2와 5가 아닌 수가 포함되어 있어서 순환소수가 되는 거지"

 

그런데 갑자기 길순이는 분모가 2와 5의 조합이 아닌 수일때는 순환소수가 되는 지 무척이나 궁금해 졌습니다.

그래서 길순이는 길동이에게 물었어요.

"왜 2와 5의 조합이 아닌 조합에서는 순환소수가 되는거야?"

 

길동이 대답했어요.

"그건 우리가 10진법의 수 체계를 사용하기 때문이야. 다음을 한번 살펴 보자."

 

"7/20 이라는 수를 확인해 보면 여기에 분자 분모에 각각 5를 곱해 보면 (7x5)/(20x5) 와 같이 나타낼수 있지?

이렇게 보면 34/100 으로 해서 분모를 100으로 만들 수가 있거든.

이렇게 생각을 해 보면 10을 만들 수 있는 수는 2 와 5가 짝궁이 될때 이기 때문에 소인수 분해 했을때 5의 갯수가 더 많으면 그만큼 2의 갯수를 더 곱해 주면 되고 2의 갯수가 더 많으면 5의 갯수를 더 곱해 주면 돼.

따라서 분모가 2와 5의 약수로 된 경우에는 무조건 유한 소수가 될 수 있다는 것은 알겠지?"

 

"응, 그런데 2와 5 외의 수가 들어가면 왜 무한 소수가 되는거야?"

 

"그건 유한 소수가 되려고 하면 분모가 10의 거듭제곱으로 표현되는 수를 만들어야 돼... 그런데 10은 2와 5로만 이루어져 있잖아? 여기서 다른 약수가 들어가면 10의 거듭제곱을 만들 수 있을까? 예를 들어 7을 확인해 볼께...

1/7=10/70 = (10/7)/10 으로 나타낼수가 있지만 분자는 다시 10/7 이 되는 것을 확인 할 수 있지?

10/7 = 1 + 3/7 로 나타낼 수 있지만 결국(1+3/7)/10 = 1/10 + 3/70 으로 나타낼 수 있지만 결국은 3/70을 얻게 되지만 분모인 70을 10의 거듭제곱으로 나타낼 수 있어야 되는데 70 은 7 x 2 x 5 이기 때문에 어떻게 해도 2 x 5 만 포함된 10의 거듭제곱으로 나타낼수는 없는거야"

 

 

"아... 이제 이해 됐어"

 

그렇다면 1/30은 무한소수일까요? 아니면 유한소수일까요?

 

정답

30을 소인수 분해 하면 2 x 3 x 5 입니다.

여기서 3이 들어가 있으므로 3을 이용해 10의거듭제곱을 만들지 못합니다.

따라서 정답은 무한소수

 

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오늘의 길동이와 길순이의 대화 잘 들으셨나요?

 

유한 소수가 되는 이유는 우리가 10진수 체계를 사용하기 때문에 분모가 2 와 5의 약수로만 이루어져 있을때 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있기 때문이랍니다.

 

하지만 2와 5의 약수가 아닌 다른 것이 들어가면 이 수를 가지고는 절대로 10의 거듭제곱을 만들 수가 없답니다.

그래서 무한 소수가 되는 것이죠...