생각하는 아이들

수학에서 어떤 문제를 증명하는 방법에는 귀류법이라는 것을 사용하고 있습니다. 여기서 귀류법은 어떤 증명이 어려울때 주어진 명제가 참임을 증명하고자 할때 그 결론을 부정함으로써 가정에 모순이 됨을 보여주는 간접적인 방법으로 원래의 명제가 참 임을 증명하는 것입니다. 예를 들면 오래전에 지구가 평평하다고 생각했습니다. 이때 지구가 둥글다는 것을 증명하라는 문제가 주어졌습니다. 그렇다면 지구가 평평하거나 둥글다는 사실 밖에 없을 때, 지구가 둥글지 않다고 가정을 해 봅니다. 그러면 지구는 평평하다는 사실 밖에 없을 것입니다. 그러면 지구가 평평하다면 반드시 성립하거나 존재하는 사실은 무엇이 있을까요? 평평하다면 배를 타고 끝까지 간다면 결국은 절벽으로 떨어질 것입니다. 여기서 모순이 발생합니다. 배를 타고 아..

▲초등 3학년 - 수와 연산 : 분수와 소수,덧셈과 뺄셈,나눗셈 - 도형 : 평면도형, 원 - 길이와 시간,무게측정 - 자료의 정리 표를 보고 여러가지 통계적 사실을 알 수 있습니다. 다음의 표는 좋아하는 간식별 학생수를 기록한 표입니다. 간식 피자 치킨 과자 빵 합계 학생수(명) 7 12 5 10 34 이 표를 가지고 확인 할 수 있는 것은 다음과 같습니다. 피자를 좋아하는 학생은 7명입니다. 치킨을 좋아하는 학생은 12명입니다. 과자를 좋아하는 학생은 5명입니다. 빵을 좋아하는 학생은 10명입니다. 조사한 학생의 총 수는 34명입니다. 따라서 가장 많은 학생들이 좋아하는 간식은 치킨입니다. 간식을 한가지만 준비해야 한다고 하면 치킨을 준비하는 것이 좋습니다. 이러한 표를 만들기 위해서는 먼저 다음과 ..

길동이네 학교의 학생수는 100명입니다. 선생님은 모든 학생들에게 하나의 중심을 기준으로 반지름의 길이가 모두 서로 다른 5개의 원이 그려진 도화지를 주었습니다. 이렇게 나누어 준 후 원과 원 사이(가장 안쪽은 원 전체)를 흰색 또는 회색으로 임으로 칠하게 하였습니다. 선생님은 이렇게 모아서 똑 같은 그림끼리 분류 작업을 하였습니다. 그렇다면 선생님이 분류작업한 최대 가짓수는 몇가지나 될까요? 모든 학생이 똑같은 곳에 색칠을 한 경우 최소 가짓수는 1가지 입니다. 위의 그림은 가장 안쪽에서 첫번째 세번째 네번째를 흰색으로 칠하고 두번째 다섯번째를 회색으로 칠한 경우입니다. 정답) ...더보기 칠 할 수 있는 영역은 5개입니다. 이때 한개에는 흰색과 회색 2가지 경우를 칠할 수 있습니다. 따라서 한군데 2..

길동이는 연말에 친구들 모임이 있어서 모임에 참가를 했다. 그곳에 온 친구들은 길동이를 포함해서 총 5명의 친구가 참석을 했다. 그들은 서로의 안부를 묻고 악수를 하는데, 악수는 일대일로만 할 수 있다. 즉 한사람은 한번에 한명의 친구와만 악수를 할 수 있다. 둘이 일대일로 서로 인사를 하면서 악수를 하는데 정확히 1분이 걸린다고 할때, 모든 쌍이 일대딜로 서로 안부를 묻고 악수를 하기 위해 필요한 최소 시간은 얼마일까? (단, 악수 후 다른 친구와 악수하기 위해 이동하는 시간은 0분이라고 가정한다.) 정답 ...더보기 A,B,C,D,E 5명의 사람이라고 하면 악수를 하는 쌍을 만들어 보면 (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E) 이렇게 10번의 경우가 ..

초등 3학년 - 수와 연산 : 분수와 소수,덧셈과 뺄셈,나눗셈 - 도형 : 평면도형, 원 - 길이와 시간,무게측정 - 자료의 정리 무게의 덧셈은 같은 단위끼리 계산을 합니다. 즉 다음과 같은 무게의 트럭이 2대가 있습니다. A 트럭 - 5t 300kg 40g B 트럭 - 4t 800kg 980g A트럭과 B트럭의 무게를 합하면 다음과 같이 계산을 합니다. 9t 1100kg 1020g 여기서 1020g 은 1kg 20g 입니다. 따라서 1kg 은 kg 단위에 합산을 해 줍니다. 9t 1101kg 20g 여기서 1101kg 은 1t 101kg 입니다 따라서 1t은 t 단위에 합산을 해 줍니다. 10t 101kg 20g 이와 같이 덧셈을 해 주게 되는데요. 반대로 뺄셈을 해 주게 될때도 역시 같은 단위끼리 뺄..

초등 3학년 - 수와 연산 : 분수와 소수,덧셈과 뺄셈,나눗셈 - 도형 : 평면도형, 원 - 길이와 시간,무게측정 - 자료의 정리 무게의 단위는 g과 kg, t 이 있습니다. 1kg은 1킬로그램 이라고 하며 1000g (1000그램) 과 같습니다. 1t은 1톤이라고 하며 1000kg 과 같습니다. 1kg보다 300g 이 더 많은 경우는 1k 300g 이라고 쓰고 1킬로그램 300그램이라고 읽습니다. 길동이는 300g을 kg 단위로 바꾸어 쓸 수 있는지 궁금해 졌습니다. 여러분은 300g을 kg 단위로 바꾸어 쓸 수 있다고 생각하시나요? 그렇다면 어떻게 쓰는지 길동이에게 알려 주세요. 정답 ...더보기 1kg 의 1/10 은 0.1kg 이라고 쓰며 이 용량은 100g 에 해당합니다. 따라서 300g은 10..

초등 3학년 - 수와 연산 : 분수와 소수,덧셈과 뺄셈,나눗셈 - 도형 : 평면도형, 원 - 길이와 시간,무게측정 - 자료의 정리 길동이는 2개의 참외가 있는데 어떤것이 더 무거운지 궁금했습니다. 보기에는 크기가 비슷해서 어떤것이 무거운지 알아보려고 합니다. 무게를 알아 보기 위해서 양손으로 하나씩 들어 보았습니다. 오른쪽이 더 무거운것 같습니다. 하지만 정확한것은 양팔저울을 이용해 보면 정확할것 같습니다. 양팔저울을 이용해 보니 오른쪽으로 기울어져 내려갑니다. 역시 오른쪽이 무거운것을 정확히 알 수 있었습니다. 그러면 양팔저울을 이용해서 참외의 무게가 얼마나 되는지 알아 보려면 어떻게 하면 될까요? 1kg 짜리 추를 오른쪽에 올리고 참외를 왼쪽에 올리니 추가 있는 쪽으로 기울어져 내려갑니다. 그렇다면 ..

회문 혹은 팰린드롬은 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 문장 같은 낱말을 뜻합니다. "가져가","기러기",다들 잠 들다" 등과 같은 단어가 있는데 영문에도 이러한 단어가 있습니다. "rotator","race car" 등과 같은 단어들이 있는데요. 숫자에도 이렇게 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 숫자들이 있습니다. 예를 들면 121, 1221,13231 등과 같은 수들이 있습니다. 길동이 이러한 수들을 찾아보다가 여덟자리 팰린드롬 숫자가 11의 배수인것을 확인 했는데요. 12344321,11222211,.... 몇개의 수를 확인 하다가 8자리의 팰린드롬 숫자는 모두 11의 배수인지 무척 궁금해 졌습니다. 여러분이 길동이의 궁금증을 해결해 주세요. 만약에 8자리의 모든 팰린드롬 숫자가 11의 배수라면 왜..

길동이 아버지는 금고의 비밀번호를 적어 놓았습니다. 그런데 오랜시간이 지난 탓으로 한자리 숫자 위치가 찢어져서 보이지를 않았습니다. 94X5 길동이 아버지는 나이가 많아서 X의 위치에 무엇을 적었는지 기억 할 수가 없었습니다. 그런데 어렴풋이 비밀번호를 생성 후에 비밀번호가 3의 배수이면서 9의 배수이었다는 것을 기억했습니다. 그렇다면 찢어진 X 위치에 들어 갈 수 있는 수는 어떤 수가 있는지 길동이에게 얘기해 주세요. 정답 ...더보기 3의 배수가 되기 위해서는 모든 숫자의 합이 3의 배수입니다. 따라서 9 + 4 + 5 = 18 이므로 18 + X 가 3의 배수가 되는 한자리 수는 0,3,6,9 입니다. 또한 9의 배수가 되기 위해서는 모든 숫자의 합이 9의 배수입니다. 18 + X 가 9의 배수가 ..

길동이는 숫자 카드가 들어 있는 2개의 통을 들고 왔습니다. 한개의 통에는 5가 쓰여 있는 카드가 무수히 많습니다. 또 다른 통에는 6이 쓰여 있는 카드가 무수히 많습니다. (여기서는 카드의 갯수가 무한개라고 가정을 합니다.) 길순이에게 이 두개의 통에서 카드를 뽑아서 뽑은 카드의 숫자를 더해서 숫자를 만들어 보라고 했습니다. 그러자 길순이는 (5+0)5,(6+0)6,(5+6)11... 이렇게 하나씩 꺼내서 만들어 보았습니다. 그러자 길동이가 길순이에게 묻습니다. "혹시 이 두통의 카드를 뽑아서 더한 숫자로 만들지 못하는 자연수가 몇개인지 알고 있어?" 길순이는 고개를 갸웃하며... "글쎄, 못 만들 수 있는 수가 무수히 많지 않을까? 우선 1,2,3,4,7,8,9,10... 이렇게 만들지 못하잖아.....