사고력수학 - 유한개의 소수의 곱 을 곱한것에 더하기 1을 하면 반드시 소수일까?

지난시간에 소수는 유한하다는 것을 반증하기 위해서 유한개의 소수의 곱 + 1은 반드시 소수이다 라고 반증의 예를 들었는데요.

그렇다면 유한개의 소수의 곱 + 1은 반드시 소수일까요?

2019/12/30 - [생각수학] - 사고력 수학 - 소수의 개수 무한하다는 것을 증명하기

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가령 2 x 3 x 5 x 7 x 11 의 값에 더하기 1 인 경우 2311이 나오는데 이것은 소수일까?

이것을 알아 보기 위해서는 47^2=2209 이므로 47 이하의 소수로 나누어 보면 소수인지 판단할 수 있는데 이 수는 나누어 떨어지는 수가 없기 때문에 소수 입니다.

하지만 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 이 됩니다.

이것은 59 x 509 와 같이 나누어 떨어 집니다.

따라서 30031 은 소수가 아닙니다.

 

그렇다면 소수의 개수가 무한하다는 것을 귀류법에 의해 증명을 했었는데 이러한 증명이 잘못 된 것일까요?

 

증명을 할 때 다음과 같은 문구에 주의 하셔야 합니다.

 

만약 이 세상에 밝혀진 소수가 유한개라고 하면 그 유한개를 모두 곱한 후에 +1을 하면 어떤 수로도 나눌 수 없는 소수가 되는 것입니다.

 

이 세상에 밝혀진 소수의 모든 소수의 곱에 대한 문제입니다.

위의 예에서 30031은 이 세상에서 소수는 2,3,5,7,13 밖에는 없다고 생각하여 만들어진 수입니다.

59가 소수임이 밝혀졌다면 2부터 59까지의 모든 수를 곱한 값에 + 1을 한다면 2 부터 59까지의 소수로는 결코 나눌 수가 없는 소수가 되는 것입니다.

 

따라서 이렇게 세상에 소수가 유한개가 존재 한다면 반드시 소수는 다시 만들어 질 수 밖에 없다는 것이 모순이 되기 때문에 귀류법에 의한 증명을 한것입니다.

 

그렇다면 현재까지 찾아낸 소수중 가장 큰 소수는 무엇일까요?

 

정답)

2^82589922  -  1 이라고 해요

이 수를 적기 위해서는 A4종이 200줄을 적을 수 있다고 해도 1000장 이상이 필요하다고 하는데요.

이러한 수는 어떻게 찾아 냈을까요?

그것은 컴퓨터 과학의 발달을 의미해요.

여러분이 좀 더 좋은 알고리즘으로 이것보다 더 큰 소수를 찾아 내는 쾌거를 이룰 수 있기를 바랍니다.