사고력 수학 - 소수의 개수 무한하다는 것을 증명하기

수학에서 어떤 문제를 증명하는 방법에는 귀류법이라는 것을 사용하고 있습니다.

 

여기서 귀류법은 어떤 증명이 어려울때 주어진 명제가 참임을 증명하고자 할때 그 결론을 부정함으로써 가정에 모순이 됨을 보여주는 간접적인 방법으로 원래의 명제가 참 임을 증명하는 것입니다.

 

예를 들면 오래전에 지구가 평평하다고 생각했습니다.

이때 지구가 둥글다는 것을 증명하라는 문제가 주어졌습니다.

 

그렇다면 지구가 평평하거나 둥글다는 사실 밖에 없을 때, 지구가 둥글지 않다고 가정을 해 봅니다.

그러면 지구는 평평하다는 사실 밖에 없을 것입니다.

그러면 지구가 평평하다면 반드시 성립하거나 존재하는 사실은 무엇이 있을까요?

평평하다면 배를 타고 끝까지 간다면 결국은 절벽으로 떨어질 것입니다.

여기서 모순이 발생합니다.

배를 타고 아무리 가도 절벽은 없기 때문입니다.

따라서 지구는 둥글거나 평평하다는 두가지 사실 밖에 없기 때문에 평평하다는 모순이 발생하기 때문에 둥글다 라고 증명을 하는 것을 귀류법이라고 합니다.

 

그렇다면 이러한 귀류법을 이용하여 소수의 개수가 무한하다는 것을 증명해 보세요.

 

정답)

먼저 소수가 유한 한것과 무한한것의 두개의 사실을 가지고 생각을 해 봅니다.

먼저 소수가 유한 하다고 가정을 하면 마지막 소수를 찾으면 됩니다.

하지만 소수라는 것을 가정을 해 볼께요.

소수는 만약에 여태까지 나온 소수 만약 2만 소수가 나왔다고 하면 소수 + 1 은 소수가 됩니다.

이때 3이라는 소수가 나오는데요. 여기서 2 * 3 + 1 은 소수가 됩니다.

왜냐하면 여태까지 나온 소수의 모든 소수를 곱한 후에 + 1을 하게 되면 어떤 수로도 나눌수 없는 수가 되는 것입니다.

만약 이 세상에 밝혀진 소수가 유한개라고 하면 그 유한개를 모두 곱한 후에 +1을 하면 어떤 수로도 나눌 수 없는 소수가 되는 것입니다.

따라서 소수는 유한개가 나올 수 없으므로 소수는 무한개 입니다.