평면 좌표 쌍 찾기

평면에서 점 P의 좌표가 (0, 4)이고, 점 Q의 좌표가 (a, 6)이라고 하자. 선분 PQ를 수직 이등분하는 직선이 x-축 상의 점 S를 지난다고 하자. 점 S의 좌표가 (b, 0)라고 할 때, a 와 b가 모두 정수가 되는 쌍 는 몇 개인가?

 

① 0 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 무한히 많음

 

출처 : 정보올림피아드 2012 중등부 문제

 

정답) 2

문제풀이)

Pq 의 기울기는 2/a 이다

S와 정점의 기울기는 –a/2 이다

또한 s와 정점의 기울기는 -5 / (b-a/2) 로 나타낼수 있다.

따라서 a/2 = 10/(2b-a)

a(2b-a) = 20

따라서 a는 20의 약수가 된다.

20의 약수는 1,2,4,5,10,20 이다.

 

여기서 a는 홀수가 나올수가 없다.

왜냐하면 2b-a 가 홀수 가 되므로 홀수 * 홀수는 홀수밖에 안되므로…

따라서 짝수 – 짝수는 짝수이다.

따라서 a=2,4,10,20 을 생각해 볼 수 있는데 

a = 2 일때 (2b-a) = 10 이므로 b는 6

a = 4 일때 (2b-a) = 5 이므로 b는 만들 수 없다.

a = 10 일때 (2b-a) = 2 이므로 b는 6

a = 20 일때 (2b-a) = 1 이므로 2b가 21이 되어야 하는데 만들 수 없다.

또한 정수이므로 a가 음수일때 도 가능하기 때문에

a = -2 일때 (2b-a) = -10 이므로 b는 -6

a = -10 일때 (2b-a) = -2 이므로 b는 -6

따라서,-2,-10,2,10 4가지 이다.