사고력 수학 - 나누어 떨어지는 성질

1. 만약 a,b가 모두 c에 의해 나누어 떨어지면 그들의 합과 차도 c로 나누어 떨어 집니다.

예를 들면 10 이 2로 나누어 떨어지고 6이 2로 나누어 떨어진다면 (10-6)은 2로 나누어 떨어지고, (10+6)은 2로 나누어 떨어진다.

 

2. 만약 b와 c의 곱이 a를 나누어 떨어지게 하면 b와 c도 a를 나누어 떨어지게 할 수 있습니다.

예를 들면 2와 6의 곱 12가 24를 나누어 떨어지게 하면 2와 6 모두 24를 나누어 떨어지게 할 수 있습니다.

 

3. 만약 b와 c가 모두 a를 나누어 떨어지게 하고 또 b와 c가 서로소이면, b와 c의 곱도 a를 나누어 떨어지게 합니다. 예를들면 3과 7이 42을 나누어 떨어지게 하면 3과7의 곱 21도 42를 나누어 떨어지게 합니다.

 

4. 만약 c가 b를 나누어 떨어지게 하고, b가 a를 나누어 떨어지게 하면 c도 a를 나누어 떨어지게 합니다.

예를 들면 3이 9를 나누어 떨어지게 하고 9가 18을 나누어 떨어지게 하면 3이 18을 나누어 떨어지게 합니다.

 

또한 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

 

2의 배수 - 마지막 자리가 짝수입니다.

3의 배수 - 모든 자리수의 합이 3으로 나누어 떨어집니다.

4의 배수 - 마지막 두자리 수가 4로 나눙 떨어집니다.

5의 배수 - 마지막 자리가 5 또는 0 입니다.

6의 배수 - 2의 배수와 3이 배수의 특징을 같이 가집니다.

7의 배수 - 한 정수의 마지막 세자리 수와 그 세자리 수를 제외한 나머지 수들의 차가 7에 의해 나누어 떨어집니다.

예) 10024 가 7의 배수인지 판단할때 |10 - 024| = |-14| = 14 이므로 7로 나누어 떨어집니다.

8의 배수 - 마지막 3자리 수가 8로 나누어 떨어집니다.

9의 배수 - 모든 자리수이 합이 9로 나눙 떨어집니다.

11의 배수 - 홀수자리의 합 - 짝수자리의 합 이 11의 배수입니다.

예)11814 이 11의 배수인지 판단할 때 1+8+4 -(1+1) = 11 이므로 11의 배수입니다.

13의 배수 - 7의 배수와 마찬가지로 마지막 세자리 수와 그 세 자리 수를 제외한 나머지 수들의 차가 13에 의해 나누어 떨어집니다.

예) 18525 가 13의 배수인지 판단할때 |18 - 525| = |-507| = 13 * 39 이므로 13의 배수입니다.

 

이러한 특징을 가지고 다음을 구해 보세요.

 

x1234y 가 45로 나누어 떨어지는 수 x1234y를 구하세요.

 

정답)

45로 나누어 떨어진다면 5와 9로 나누어 떨어지는 성질을 모두 가지고 있는 경우입니다.

따라서 5로 나누어 떨어지기 위해서는 y=0 또는 5 입니다.

9로 나누어 떨어지기 위해서는 모든 자리수를 모두 더했을때 9의 배수입니다.

따라서 y가 0 이라면 x+1+2+3+4+0 의 값이 9의 배수가 되는 값이므로 x = 8입니다.

y가 5라면 x+1+2+3+4+5 의 값이 9의 배수가 되는 값이므로 x= 3입니다.

 

정답은 812340 또는 312345 입니다.