5학년 1학기 - 공약수와 최대공약수

초등 5학년

- 수와 연산 : 자연수의 혼합계산,약수와 배수,약분과통분, 분수의 덧셈과 뺄셈,분수의 곱셈과나눗셈

- 규칙과 대응

- 도형: 합동,대칭

- 측정 : 어림하기, 다각형의 넓이

- 평균과 가능성

 

공약수라고 하는 것은 어떤 두수가 있을때 두 수의 약수가 공통으로 존재하는 약수를 공약수라고 합니다.

예를 들면 6과 8의 공약수를 보겠습니다.

6의 약수는 1,2,3,6

8의 약수는 1,2,4,8

입니다.

여기서 공통된 약수는 1 과 2 입니다.

 

이렇게 공통된 약수가 여러개가 존재 할 수 있는데요.

여기서 가장 큰 약수 인 2를 최대 공약수라고 합니다.

 

그렇다면 다음의 두 수의 최대 공약수를 살펴 보겠습니다.

 

12 와 18의 최대 공약수는 다음과 같습니다.

12의 약수는 1,2,3,4,6,12

18의 약수는 1,2,3,6,9,18

따라서 공약수는 1,2,3,6 이고

여기서 가장 큰 공약수는 6입니다.

따라서 최대 공약수는 6입니다.

 

여기서 최대공약수와 공약수는 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다.

공약수는 최대공약수의 약수입니다.

최대공약수 6의 약수는 1,2,3,6 이고 12와 18의 공약수도 1,2,3,6 이 됩니다.

 

이러한 최대 공약수를 구하는 방법은 다음과 같이 구할 수가 있습니다.

여러 수의 곱으로 나타낸 곱셈식으로 표현해서 같은 부분을 찾아 내는 것입니다.

예를 들면 

12 = 2 x 2 x 3 으로 표현을 할 수가 있습니다.

18 = 2 x 3 x 3 으로 표현을 할 수가 있습니다.

이렇게 나누면 2 x 3 이 두 수에 같이 포함이 되어 있는것을 확인 할 수가 있는데요.

이렇게 포함된 2 x 3 = 6 이 최대 공약수가 됩니다.

 

이러한 원리를 이용해서 다음과 같이 공약수를 이용한 최대 공약수를 구할 수 있습니다.

 

먼저 12와 18의 공약수 2를 선택합니다.

2를 선택 하면 남은 수는 6 과 9 가 됩니다.

6과 9의 공약수 3을 선택합니다.

이렇게 하면 남은 수는 2와 3만 남습니다.

2와 3의 공약수는 1 외에는 없습니다.

이렇게 계산 후에 왼쪽에서 선택한 2 와 3 이 곱한 값 2 x 3 = 6 이 최대 공약수가 되는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

이러한 원리는 위에서 곱셈으로 표현한 것에서 공통된 공약수를 찾아내기 위한 방법으로 많이 사용되고 있습니다.

 

그렇다면 다음의 두수의 최대 공약수를 구해 보세요.

 

63 과 39 의 최대 공약수

 

정답)

3의 공약수를 찾아 내면 13이 소수가 되므로 1 외의 공약수가 없는 것을 확인 할 수 있습니다.

따라서 63과 39의 최대 공약수는 3입니다.